沉浸于数学的世界，就如同在纤细的针眼里穿针引线

在人们的想象中，攻克一项重大数学猜想对数学家而言应当是极具幸福感的时刻。然而，对王虹来说却并非完全如此。2025年2月，王虹与合作者约书亚·扎尔共同提交了一篇长达127页的论文，成功证明了一项跨越多个数学分支的百年难题。在此之前，两人已对论文细节进行了长达数月的反复推敲，并私下送交部分同行把关，这才终于鼓起勇气公开发布。王虹当时内心最担忧的，倒不是推导过程存在纰漏，而是害怕文字表述不够精准流畅，导致他人难以准确理解其中的逻辑。

事实证明论文毫无破绽，学界同仁在梳理和精简其推导逻辑后，彻底确认了该证明的严密与可靠。王虹与扎尔至此一举完成了对三维挂谷猜想的严谨证明。

这项划时代的突破让来自中国桂林的王虹揽获了无数重磅学术奖项。仅在2025年，她便接连斩获萨莱姆奖、奥斯特洛夫斯基奖以及国际华人数学家大会数学金奖。进入2026年上半年，她又先后荣获安东尼奥·安布罗塞蒂奖章、萨多斯基奖、克雷研究奖以及数学新视野奖。到了2026年，她更是摘得被誉为数学界最高荣誉的菲尔兹奖，该奖项专门表彰40岁以下成就卓著的杰出数学家。现年35岁、任职于纽约大学及法国高等科学研究所的王虹，就此写入了菲尔兹奖九十年历史的英名录，成为第三位获此殊荣的女性学者。

这种探讨正是王虹所精通的“挂谷型问题”的关键所在。这族数学难题与猜想恰好处于调和分析（研究信号如何分解为不同频率成分）、几何测度论（探究非光滑对象的形状与尺度）以及偏微分方程（用于刻画多变量协同动态演化的方程）等多个学科交叉的核心区域，并且还同数论、组合学等领域保持着深刻的内在联系。“正是因为存在如此广泛而深刻的横向关联，该领域才被公认为数学的核心，而王虹的贡献也因此获得了学术界的极高赞誉，”不列颠哥伦比亚大学数学家巴勃罗·施默金评价道。

“她为人非常谦逊友善，时常提到部分灵感取自我的工作，但她却能以我完全无法想象的奇思妙想将其发扬光大。”
——巴勃罗·施默金

在不上路奔波的日子里，王虹的研究日常严谨得如同苦修的修女或顶尖的竞技运动员。“她对数学有着近乎狂热的执着，”她的合作者、印第安纳大学的吴书坤表示，“她绝对是我遇到过的最专注、最投入的人之一。”为了专注于研究，她克制了诸如阅读闲书或亲自养狗等极其占用精力的爱好，不过她依然会挤出时间与友人相聚、练习瑜伽，或是清晨前往华盛顿广场公园看看别人家的狗狗。这些调剂方式帮助她有效地舒缓了科研攻坚过程中不可避免的巨大压力与困惑。

对掌控知识与能力的追求，似乎贯穿了王的人生。比如，正是这种渴望让她迷上了数学，在她眼里，数学是唯一不容置疑的事物。虽然她从未专门花时间去庆祝自己完成的重大证明，也没有因此感到膨胀，但至少王现在能够无比笃定地断言：在三维空间里，朝各个方向延伸的管道不可能发生过多的重叠。

许多美好的事物

王一开始有些内敛，但很快就能放松下来。她戴着玳瑁框圆镜，左右手的食指上各戴着一枚戒指，左手是银色的，右手是金色的。在视频通话中，她的双手偶尔会晃入镜头。当时她正在美洲西海岸访问合作者和朋友，并计划在此停留几个月。她透露，自己童年时代的生活其实要轻松惬意得多。

20世纪90年代的桂林，她放学回到家就会看书（比如希腊神话、《哈利·波特》和《指环王》），或者看电视，打乒乓球或羽毛球。虽然父母都是学校教师，但他们从未在学业上给她施加压力。他们一家三口常在傍晚时分沿着桂林城散步。桂林被称为中国最漂亮的城市，山青水秀，翠绿的山峰挺拔耸立，一条河流缓缓穿城而过。

数学最开始只是她的普通兴趣爱好之一。每当拿到新课本，她都会在开学前把上面的练习题全部做完。她还会跑去书店买更多的数学参考书，把里面的题目通通解答出来。

她记忆犹新的是某一章结尾的一道脑筋急转弯：怎样种植七棵树，才能让每三棵树组成一行的行数达到最多？就像她后来深入研究的挂角型难题一样，这个题目考察的是“关联几何”，也就是几何图形之间如何相互重叠，在这里指的就是线（树行）与点（树）。王很快就找出了破解方法：将树种成一个等边三角形，三个顶点各种一棵，三条边的中点各种一棵，最后一棵放在中心。这样就能凑出六行树，包括三条边上的行和穿过中间的三行。她得出结论的速度甚至超过了身为数学老师的父亲。那年她才6岁。

王之所以格外青睐数学，是因为它的永恒不变。历史总是被不断修改，而学习英语也让人感到头疼，因为规则之外的例外情况实在太多了。唯独数学定理永远可靠。“没有人能走过来讲，‘哦，实际上这不是真的，’”她说。

我给她发了一封电子邮件，说：“哇。”
——乔纳森·希克曼

王回忆说，父母原本只希望她能像普通人一样生活。可她自己却迫切地想学到更多知识，于是接连跳了两次级。

初中临近毕业时，为了考入桂林顶尖的高中，学习成绩变得至关重要。王把目标锁定在去北京大学数学系深造，那是全国最著名的学府之一。据她回忆，2007年北京大学数学系在她所在的省份仅提供了一个录取名额，并且完全依靠高考分数说话。她当时并没能考取第一名。

不过她的分数依然足够优异，得以作为地球科学专业的学生进入北京大学，并打算在入学后申请转入数学系。她的地球物理学教授给了她极大的鼓舞，肯定了数学在科学研究中的关键地位，比如利用地震波探测地球内部构造的技术，这种数学原理恰好与挂角问题息息相关，只不过她当时对此还一无所知。经过不懈努力，她最终成功转入了数学专业。她还想起父亲曾无意间提到，分析学，即研究动态变化量、极限、测度与近似值的数学，要比充满复杂符号方程与确切解的代数简单得多。为了表达叛逆，王偏偏把全部精力投向了代数领域。

起初，她的成绩并不算拔尖，甚至怀疑自己能否考上研究生。后来，来自巴黎附近的巴黎综合理工学院——这所法国赫赫有名、选拔极其严格的大学校——的代表在北京为其本科学士后项目举办了招考。2011年，她前往法国生活。

当时所有课程都采用纯法语教学，而她对法语一窍不通。所幸，第一学期课程中的大部分数学内容她早已掌握。她和讲法语的同学同桌用餐，安静地倾听，客气地请教，逐渐听懂了更多内容。在选修分析学课程后，她发现自己掌握这门学科比代数更加得心应手。

尽管课程成绩不错，可她依然觉得自己不具备从事数学研究的能力。于是，她尝试转到建筑专业学习了一个学期，并在巴黎的一家事务所实习。“我没有太大压力，”她说，“但我不知道目标是什么。”最终，她重新全身心投入数学。“我决定不再去纠结自己到底行不行，只管专注于理解得更透彻，”她说。

奇异集合

2013年，在麻省理工学院做研究实习期间，王参加了一场由分析学家拉里·古斯主持的研讨会。古斯在会中分享了他与莱斯大学数学家内茨·卡茨近期对埃尔德什相异距离问题的证明。该问题探究的是：在平面上的任意有限点集中，各点对之间能形成多少种不同的距离？古斯对问题及其解答的讲解极其清晰透彻，让王深受鼓舞，觉得自己也能很好地理解其中的部分证明。她还了解到，这个问题与许多特征相似的其他问题有着密切联系，而它们的核心都是关联几何。次年，她顺利考入麻省理工学院攻读博士学位，并选择古斯作为导师。

此后，挂谷型问题成为了她的核心研究方向。而在该类问题中，最闻名遐迩且构成了诸多后续研究基石的，当属挂谷集猜想。这一猜想源于东北大学数学家挂谷宗一在1917年提出的经典思考，其现代版本旨在探究：在平面上将一根针朝各个方向旋转一周，所能扫过的最小面积是多少。若仅让针绕其中点旋转，扫出的会是一个圆盘。而挂谷发现，如果在旋转的同时平移这根针（就像汽车做三点式转向那样），便能将扫过的面积控制在圆盘的一半以内，从而勾勒出一个被称为三尖内摆线的形状。

几年后，曾任职于剑桥大学的俄裔数学家亚伯拉罕·贝西科维奇证明了情况还能大幅改善。你完全可以让针指向所有方向，同时却不占据任何面积，至少在这个问题的抽象版本中是可行的。此时不再是单根针在旋转扫过，而是平面上一组指向各个方向的无限线段集合，针可能指向的每一个方向都对应其中一条，这被称为挂谷集。在完全不改变任何线段方向的前提下，你可以通过移动它们的位置，将它们塞进越来越小的面积里。贝西科维奇发现，这些线段实际上可以被压缩到零面积。具体怎么做呢？正三角形是另一种能够容纳挂谷集的图形，它与三尖瓣角形类似，但面积更大。想象一下，将这个正三角形沿着中线一分为二，在不发生旋转的情况下移动其中半块，让它尽可能多地重叠在另一半之上。

接下来，把原三角形拆出的每一半再对半切开，再次平移调整，使重叠面积达到最大。这样一来，你就把这些线段进一步挤压到了更小的区域内。

无限重复这一步骤，利用一种被称为帕尔接头的几何方法来回滑动线段，接着旋转三角形，以便从每一个角都重复上述操作。把最终的结果组合在一起，你就涵盖了指向各个方向的线段，并将它们全部压缩进了零面积之中。

贝西科维奇证明，这种方法在更高维度下同样适用。在三维空间中，由指向所有方向的线段所构成的挂谷集，其体积也可以为零。

然而，尽管缺乏面积或体积，这些形状奇特且遍布尖刺的集合依然占据着空间。挂谷集里的线段并没有以某种方式被强行挤压成一条一维的线，它们依然指向四面八方。那么问题来了：一个挂谷集到底占据了多少空间？如果用数学语言来表达，其实就是：它究竟存在于多少维的空间里？

在实际操作中，确定一个物体维度的常用方法是想象用一堆大小均匀的微小盒子去覆盖它，并计算所需的盒子数量。盒子越小，需要的数量就越多，而物体的维度正反映了盒子数量随盒子尺寸变化的方式。如果你想覆盖一个像线段这样的一维物体，所需的盒子数量与 1/r 成正比，其中 r 代表盒子的宽度；如果要覆盖二维物体，数量则与 1/r² 成正比；对于三维物体，则是 1/r³，以此类推。这个指数就是该物体的维度。

不过，这个指数并不总是等于物体所在表面空间的显性维度。以分形为例，比如科赫曲线或科赫雪花，这类物体在你不断放大观察时会展现出越来越丰富的细节结构。在这种情况下，盒子越小，能贴合的结构细节就越多，因此它们的数量缩放规律有所不同。缩放公式中 r 的指数是一个分数，代表着随着视角放大所揭示出的新结构程度。像科赫曲线或雪花这样拥有无限细密边缘的分形，其维度就介于整数维度之间。

挂谷集猜想的核心在于，这些集合是否完整占据了它们所指向的那个空间的所有维度。也就是说，平面上指向各个方向的线段挂谷集本身是否属于二维，三维空间里指向各个方向的挂谷集本身是否属于三维，以此类推。从这个特定角度来看，尽管贝西科维奇已经证明挂谷集的面积或体积可以为零，但它们表现得依然像实体物体。目前尚不清楚该猜想最初由谁在何时提出，但它在1971年就已经存在，当时英国数学家罗伊·戴维斯证明了它在二维情形下是成立的。而该结论在三维空间中是否成立，则被称为三维挂谷集猜想。如果该猜想被推翻，就意味着挂谷集中的线段虽然指向所有方向，却能被极其巧妙地聚拢在一起，使其行为更接近分形而非实体物体，也就是说，它们的维度会低于其所指向的三维空间。

由于挂谷集是由线段构成的，数学家们重新构想了用于测量维度的盒子，将它们融合连接成长而纤细的管道。问题的关键在于，覆盖整个集合所需的管道数量如何随着管道厚度的改变而缩放。挂谷集猜想认为，这种缩放规律与任何普通的三维物体完全相同。相反，如果挂谷集只能占据空间全部维度的一部分，那么在更小的尺度下，其内部空间就会展现出更丰富的细节，即聚集着更多的线段。

学界对三维挂谷猜想的关注始于20世纪70年代。当时，普林斯顿大学的数学家查尔斯·费弗曼发现，该猜想与一种被称为傅里叶变换的强大现象存在着密切联系。在傅里叶变换中，任何信号或函数都可以分解为不同频率和方向的正弦波。而傅里叶分析（又称调和分析）中的一个核心悬案，就是当这些波波长相同但朝向不同方向时会发生什么。在它们交汇重叠的地方，复合信号又会呈现出怎样的状态？傅里叶限制猜想指出，在这种情况下，复合信号在空间上必然十分分散且呈弥散状。由于各个分量频率的传播方向略有差异，它们无法产生足够的重叠与相长干涉来形成高度集中的波或信号。这一考量对信号处理和成像领域具有重要意义。

“你可以把每个波想象成分布在一条细长的管子里，”王说，“它们究竟会大量重叠并使信号高度集中，还是不会呢？”

棘手的困境

来到麻省理工学院几年后，王便与古斯等人共同攻关与挂谷问题相关的课题。短短一年内，他们就攻克了福尔克纳距离问题的一个特例，而该问题正是古斯与卡茨此前所解决课题的更高难度变体。此外，王还尝试从关联几何结构的视角来阐述傅里叶限制问题，并取得了突破。“鉴于这个难题的极端复杂性，几乎很难有人能提出新见解，因此一位博士生能做到这点着实令人赞叹，”爱丁堡大学数学家乔纳森·希克曼回忆道，“我当时给她发了一封邮件，写道：‘太厉害了！’”

来自英属哥伦比亚大学的施默金也曾致力于研究福尔克纳距离问题。他在麻省理工学院访问古斯期间，敏锐地注意到了王的才华。在他眼中，王富有创造力，吸收新技术的能力就像海绵一样强。尽管她接触关联几何的时间并不长，却展现出了对这一领域的深刻洞察力。

当时这一研究领域已经涌现出许多新工具，而王很快又引入了更多几何测度论方面的工具，这些工具是她在与施默金合作研究福尔克纳距离集问题时掌握的。施默金的“多尺度分析”方法给了她极大启发，这种方法通过对比不同尺度下的表现来推导矛盾。“她总是非常谦逊，经常提到有些思路源于我的工作，但她却能以我从未预想到的绝妙方式将这些想法付诸应用，”施默金表示。

2019年，王的声誉迎来爆发。她与古斯以及加州大学伯克利分校的张瑞祥联手，证明了局部平滑猜想的二维情形。作为调和分析领域的顶级难题之一，该猜想指出波动方程的解无法长时间将能量集中在微小区域内。同年，她在取得博士学位后前往新泽西州普林斯顿，在高等研究院从事博士后研究。起初，她曾担忧离开古斯后难以独自取得成功，但随后她陆续开启了新的合作，并在更多挂谷类型的难题上取得进展。这些突出业绩吸引了各大高校的招聘委员会。2021年，她获得了加州大学洛杉矶分校的教职；2023年，她入职纽约大学担任副教授。在抵达纽约大学仅一个月后，她便再次抛出重磅成果：她与凯文·任共同证明了二维福斯腾伯格集猜想，估算出了包含各个方向直线子集的平面点集的维度。

“她对数学非常痴迷。绝对是我见过最投入的人之一。”
——武树坤

尽管斩获了这些成果，王依然觉得自己像个处于劣势的追赶者。“每次成功都觉得只是运气好而已，”谈及自己的各项证明时她这样说道。

正是在疫情期间的高等研究院，王决定将精力转向三维挂谷集猜想。几十年来，这一难题让无数挑战者铩羽而归，甚至曾有人断言完成了证明，随后却被证实存在漏洞。“我从未真正解开过挂谷猜想，但曾有四五次，我以为自己做到了，”古斯说道。不过每次在公之于众之前，他都及时发现了自己的纰漏。

王读到了加州大学洛杉矶分校数学家陶哲轩在2014年撰写的一篇博客文章。文中阐述了陶哲轩与卡茨先前构想但未能深入推进的证明策略。这个思路看起来颇具前景，于是她联系了当时任职于不列颠哥伦比亚大学的约书亚·扎尔，另一位曾在博士论文中探讨过挂谷问题相关侧面的数学家。两人决定共同对陶哲轩与卡茨提出的构想展开深入研究。

这一策略最终需要动用极其丰富的技术手段，其核心在于证明：任何假设中能够推翻该猜想的反例，也就是试图将指向三维空间各个方向的线段挤压到少于三个维度中的潜在方法，都必然具备一种极为刚性且高效的结构，以至于它会与支配加法和乘法相互作用的数学定理产生冲突。这种先假定存在一个能驳倒猜想的反例，再将其推演至矛盾重重、最终断定其绝不可能存在的做法，是数学中极为常见的证明策略，从而反向证明该猜想是唯一成立的选项。

在具体推进中，王与扎尔将焦点放在了所谓的“粘性”挂谷集上，因为在这类集合中，空间里方向相近的线段往往会紧密靠拢在一起。这些线段贴得足够近，以至于用较粗的管道就能高效地将它们包裹进去。如此一来，整个集合便有可能呈现出分形缩放的特征，而非表现为普通的三维物体。他们首先证实了粘性集合并非反例，它们归根结底依然属于三维空间。

然而工作远未结束。“大家当时并不清楚，粘性情况到底是不是最核心的障碍，”身材挺拔、神采宛如战斗机飞行员的扎尔回忆道。于是接下来，他们假设了一个更具普遍性的反例：维度小于三的挂谷集（例如 3 − x）。通过分析集合中某个中等尺寸球形区域内相交的管道数量，他们成功证明了该集合要么是粘性的（已被证实为三维），要么是非粘性的。而后一种情况又能进一步推导证明出，其维度必然高于最初的假设。“这样一来，无论属于哪种情况，我们都赢了，”王说道。他们对越来越小的 x 值重复应用这一逻辑，直到最终得出结论：每一个挂谷集都必定是三维的。

2024年初，在历经四年的探索之后，证明中那套复杂的归纳逻辑终于理顺了，但王和扎尔都不敢过早地下结论。“这是一个极其艰难的课题，我又是谁，凭什么能解开它？”王说道，“你心中难免会有怀疑，但整个论证逻辑确实非常顺理成章。”在她脑海的洞察中，这一逻辑宛如清晰的画面：某种尺度下的管道在大尺度上演变为板条，随后进一步扩展成填充整个体积的厚块。这些几何形态层层递进演变的方式向她昭示，挂谷集必然是三维的。不过，王和扎尔还是又花了一年时间反复核验，才正式向外界公开发布这一证明。

寻找平衡

随着这份证明经过层层审核、研究与确认，王所处的数学领域格局迎来了重大转变。“在学术界看来这有些奇妙，因为从某种意义上说，大家追求的终极圣杯已经触手可及了，”施梅尔金表示。挂谷问题“虽然尚未在所有维度上全部解决，但圣杯最核心的部分已经实现。因此大家都在思考，我们接下来该做些什么？当然，这一证明所催生的所有新技术，都已经为未来开展更多出色的工作铺平了道路。”

其他难度更高的三维难题目前依旧悬而未决，比如三维限制猜想和局部平滑猜想。对王和她所在的学术圈而言，即便短期内无法给出适用于所有维度的通用证明，四维挂谷猜想也是下一个极具吸引力的明确目标，尽管现在还没有人知道这一证明具体会以何种形式呈现。

王表示，自己目前并不想过于倾注精力去攻克某一个特定的难题。如今她在国内已颇具知名度，在公共场合偶尔会被路人认出。菲尔兹奖更是会让她在中国乃至全球数学界一跃成为瞩目的焦点人物。不过她依然担心自己会落后，并始终坚信，唯有付出比同行更多的时间和汗水，才能保持与他们同等的优秀水平。当有人对这种看法提出不同意见时，毕竟大家都公认她天赋异禀，她显得十分吃惊，但也流露出由衷的高兴。

面对更多挂谷类难题的挑战，王对未来的探索充满了期待。而对于未来，她还需要面对另一个难题，那就是如何在数学之外保有属于自己的空间，同时又能作为一名数学家保持自信。得知自己的导师古斯总能抽空享受阅读之乐，王备受鼓舞。“我常常希望能重回过去，那时我总觉得有大把大把的时间可以用来读书，”她说道，“我觉得那段时光真的特别美好。”